【设函数z x y,则全微分dz】在数学中，全微分是研究多元函数局部变化率的重要工具。当函数由多个变量构成时，全微分可以用来近似计算函数值的变化。本文将以函数 $ z = x y $ 为例，详细说明其全微分的求解过程，并通过表格形式总结关键内容。
一、全微分的基本概念
对于一个二元函数 $ z = f(x, y) $，其全微分 $ dz $ 表示函数在某一点处由于自变量 $ x $ 和 $ y $ 的微小变化所引起的函数值的近似变化。全微分的公式为：
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy
$$
其中：
- $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 是 $ z $ 对 $ x $ 的偏导数；
- $ \frac{\partial z}{\partial y} $ 是 $ z $ 对 $ y $ 的偏导数；
- $ dx $ 和 $ dy $ 分别是 $ x $ 和 $ y $ 的微小变化量。
二、以 $ z = x y $ 为例
我们考虑函数 $ z = x y $，这是一个典型的二元函数。接下来分别计算其对 $ x $ 和 $ y $ 的偏导数。
1. 计算偏导数
- 对 $ x $ 求偏导：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = y
$$
- 对 $ y $ 求偏导：
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = x
$$
2. 写出全微分表达式
将上述偏导数代入全微分公式：
$$
dz = y \, dx + x \, dy
$$
这表示，当 $ x $ 和 $ y $ 分别发生微小变化 $ dx $ 和 $ dy $ 时，函数 $ z = x y $ 的变化量约为 $ y \, dx + x \, dy $。
三、总结与对比（表格）
| 项目 | 内容 |
| 函数形式 | $ z = x y $ |
| 偏导数 $ \frac{\partial z}{\partial x} $ | $ y $ |
| 偏导数 $ \frac{\partial z}{\partial y} $ | $ x $ |
| 全微分公式 | $ dz = y \, dx + x \, dy $ |
| 含义 | 描述函数在点 $ (x, y) $ 处因 $ x $、$ y $ 微小变化引起的函数值变化 |
四、注意事项
- 全微分是线性近似的一种表现形式，适用于 $ dx $ 和 $ dy $ 非常小时；
- 若函数为更复杂的多元函数，如 $ z = f(x, y, z) $，则全微分会包含更多项；
- 全微分在物理、工程等领域有广泛应用，例如在热力学、流体力学中用于描述状态变量的变化。
结语
通过对函数 $ z = x y $ 的分析，我们可以清晰地看到全微分的推导过程和实际意义。理解全微分不仅有助于掌握多元函数的性质，也为进一步学习偏导数、梯度、方向导数等概念打下基础。
