【arctan计算公式】在数学中，arctan（反正切）是一个重要的三角函数反函数，用于求解已知正切值所对应的角度。arctan(x) 的值域为 (-π/2, π/2)，即从 -90° 到 90°。以下是对 arctan 计算公式的总结与常见值的表格展示。
一、arctan 的基本定义
arctan(x) 是指满足 tan(θ) = x 的角度 θ，其中 θ ∈ (-π/2, π/2)。也就是说，对于任意实数 x，arctan(x) 返回的是一个在 -90° 到 90° 之间的角度，其正切值等于 x。
二、常用 arctan 值表
| x | arctan(x)（弧度） | arctan(x)（角度） |
| 0 | 0 | 0° |
| 1/√3 | π/6 | 30° |
| 1 | π/4 | 45° |
| √3 | π/3 | 60° |
| ∞ | π/2 | 90° |
| -1/√3 | -π/6 | -30° |
| -1 | -π/4 | -45° |
| -√3 | -π/3 | -60° |
| -∞ | -π/2 | -90° |
> 注意：当 x 趋近于正无穷时，arctan(x) 趋近于 π/2；当 x 趋近于负无穷时，arctan(x) 趋近于 -π/2。
三、arctan 的计算公式
1. 基本公式
对于任意实数 x，有：
$$
\arctan(x) = \int_0^x \frac{1}{1 + t^2} dt
$$
2. 导数公式
$$
\frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2}
$$
3. 和差公式
$$
\arctan(a) + \arctan(b) = \arctan\left(\frac{a + b}{1 - ab}\right) \quad (ab < 1)
$$
$$
\arctan(a) - \arctan(b) = \arctan\left(\frac{a - b}{1 + ab}\right) \quad (ab > -1)
$$
4. 与 arcsin 和 arccos 的关系
$$
\arctan(x) = \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right)
$$
$$
\arctan(x) = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\right)
$$
四、实际应用中的注意事项
- 在编程语言（如 Python、MATLAB）中，通常使用 `math.atan()` 或 `numpy.arctan()` 来计算 arctan。
- 若需得到以度数为单位的结果，需将弧度值乘以 (180/π)。
- 对于复数输入，arctan 可以扩展为复数函数，但本文主要讨论实数范围内的计算。
五、总结
arctan 是一个重要的反三角函数，广泛应用于数学、物理和工程领域。通过掌握其基本定义、常用值以及相关公式，可以更高效地进行计算与分析。合理利用表格和公式，有助于提升对 arctan 函数的理解与应用能力。
