结论是 ln2 是超越数，它不能作为任何一个非零整系数多项式方程的根，这个结论是由林德曼魏尔斯特拉斯定理推导得到，很多同学容易混淆，把 ln2 当成无理代数数，它是无理数，同时更进一步属于超越数，区分关键点，无理数只是不能写成两个整数之比，但是无理数里面还分成代数无理数，比如根号 2，和超越数，ln2 属于后者，高中阶段一般只要求知道它是无理数，数论竞赛会考察它是超越数这个结论。

概念对照表

类别定义例子
代数数可以是整系数非零多项式根根号 2 根号 3
超越数不是任何整系数非零多项式的根e π ln2
有理数可以写成 p/q p q 整数1/2 3

深度原理讲解

林德曼魏尔斯特拉斯定理核心推论，如果 α 是非零代数数，那么 e 的 α 次方是超越数，现在反过来假设 ln2，如果 ln2 是代数数，记 α=ln2，那么eα=2，但是 2 是整数，属于代数数，这个会和定理产生矛盾，因此 ln2 不能是代数数，所以 ln2 一定是超越数。

补充拓展，同类结论，ln3 ln5 这类大于 0 不等于 1 的有理数的自然对数，全部都是超越数，这个是这个定理非常经典的推论，也就是任何正有理数 r 不等于 1，ln r 都是超越数。

注意易错点，不要把 ln2 和 log 以 10 为底的 lg2 混在一起，lg2 同样也是超越数，但是证明思路不同，不要误以为只有 π 和 e 才是超越数，自然对数里面大量常见数值都是超越数。

判定做题操作步骤

第一步先回忆超越数定义，判断这个数能不能满足整系数多项式方程。

第二步记住林德曼魏尔斯特拉斯定理推论，正有理数不等于 1，它的自然对数 ln r 是超越数。

第三步 r=2 满足条件，所以直接判定 ln2 是超越数。

第四步区分，它首先是无理数，超越数一定是无理数，但是无理数不一定是超越数，比如根号 2。

综合以上内容，ln2 是超越数，依据林德曼魏尔斯特拉斯定理推论，所有不等于 1 的正有理数的自然对数都是超越数，做题的时候牢记这个推论，不要错选成代数无理数。

【常见问题】

问题 1 ln2 是超越数吗 它是不是无理数

回答 1 ln2 是超越数吗 ln2 首先是无理数，超越数必然是无理数，所以它同时满足无理数和超越数两个属性。

问题 2 ln2 是超越数吗 根号 2 和 ln2 是一类吗

回答 1 ln2 是超越数吗 二者不是一类，根号 2 是代数无理数，是多项式 x 平方减 2 等于 0 的根，ln2 是超越数，不属于代数数。

问题 3 ln2 是超越数吗 ln1 为什么不是超越数

回答 1 ln2 是超越数吗 ln1 等于 0，0 是整数属于代数数，推论要求正有理数不等于 1，所以 ln1 不符合这个推论条件，不能套用 ln2 的结论。

【免责申明】

本文内容依据数论林德曼魏尔斯特拉斯定理相关知识点整理，仅作为竞赛和高等数学学习参考，证明完整严格推导请查阅专业数论教材。